home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Light ROM 4 / Light ROM 4 - Disc 1.iso / text / maillist / 1996 / 012296.doc / text0622.txt < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-02-04  |  2.9 KB  |  82 lines
  1. On Mon, 29 Jan 1996, Brenden Mecleary wrote:
  2. > >On Mon, 29 Jan 1996, John Gross wrote:
  3. > >>> Is there a number bigger than infinity?
  4. > >>
  5. > >> infinity + x
  6. > >
  7. > >infinity + x + 1.   :)
  8. >
  9. > infinity squared!
  10. > better yet, infinity to the infinity power!
  11.  
  12. Many of you might be joking about numbers bigger than infinity, but in
  13. certain applications, it is reasonable to have different orders of
  14. infinity.
  15.  
  16. Consider the cardinality of the set of integers.  There are an infinite
  17. number of integers, and you can play the game of "What if x were the
  18. largest integer?  Well, it can't be since x+1 should be larger yet."
  19.  
  20. We can represent the infinite count of the number of integers as
  21. Aleph-null.  (Aleph is the first letter of the Hebrew alphabet, and
  22. null is written as a subscript 0.)
  23.  
  24. Then, you might ask how many rational numbers are there?  Rational
  25. numbers are essentially ratios of pairs of integers.  At first glance
  26. it might seem that there should be more rational numbers than integers
  27. because we are using two integers per rational number.  But, it turns
  28. out that there are just as many rational numbers as there are integers.
  29. We can demonstrate this by defining a one-to-one correspondence
  30. between rational numbers and integers.  Essentially that is finding
  31. an ordering for rational numbers that allows us to enumerate them.
  32.  
  33. Let's just consider whole numbers and positive rational numbers
  34. for the moment.  Consider making a table with numerators in the
  35. rows and denominators in the columns:
  36.  
  37.        1    2    3    4    5   . . .
  38.       ---  ---  ---  ---  ---
  39.  1    1/1  1/2  1/3  1/4  1/5  . . .
  40.  2    2/1  2/2  2/3  2/4  2/5  . . .
  41.  3    3/1  3/2  3/3  3/4  3/5  . . .
  42.  4    4/1  4/2  4/3  4/4  4/5  . . .
  43.  5    5/1  5/2  5/3  5/4  5/5  . . .
  44.  .     .    .    .    .    .   .
  45.  .     .    .    .    .    .     .
  46.  .     .    .    .    .    .       .
  47.  
  48. We can now order them on diagonals, remembering to skip over any
  49. ratios that can be expressed with smaller integers:
  50.  
  51.        1    2    3    4    5   . . .
  52.       ---  ---  ---  ---  ---
  53.  1      1    3    5    9   11  . . .
  54.  2      2  XXX    8  XXX   16  . . .
  55.  3      4    7  XXX   15  XXX  . . .
  56.  4      6  XXX   14  XXX   25  . . .
  57.  5     10   13   19   24  XXX  . . .
  58.  .     .    .    .    .    .   .
  59.  .     .    .    .    .    .     .
  60.  .     .    .    .    .    .       .
  61.  
  62. (Note that 12, 17, 18, 20, 21, 22, 23, and everything after 26
  63. don't appear in this small portion of the table.)
  64.  
  65. Finding for negative rational number and negative integers as
  66. well as for 0 is straight forward.  Thus, there are just as
  67. many integers and rational numbers.
  68.  
  69. There are, however, more real numbers than rational numbers.
  70. (Real numbers include irrational numbers such as the square
  71. root of 2 and pi).  The cardinality of the set of real
  72. numbers can be represented by Aleph-1.
  73.  
  74. ObLW:  Lightwave cannot handle all integers or all rational
  75. numbers, let alone that many real numbers.  But then again,
  76. neither can any software on any finite computer.
  77.  
  78. -- 
  79. Richard Addison
  80.  
  81.  
  82.